In next-generation battery development, a persistent bottleneck slows progress: a deep and silent divide separating material scientists, electrochemical modelers, and BMS (Battery Management System) circuit designers. While material scientists optimize solid diffusion properties and electrolyte conductivity, and modelers construct partial differential equations (PDEs), circuit engineers are left utilizing extremely simplified equivalent circuit models (ECMs) with little to no physical foundation.

Having previously worked as a semiconductor process and device engineer before entering the battery field, this disconnect feels highly unnatural. In the semiconductor industry, bridging device physics to circuit simulation is a standard and robustly automated process. This article explores why we must bridge this gap for lithium-ion batteries and how we can use the Single Particle Model with Electrolyte (SPMe) to generate SPICE-compatible equivalents directly from materials and structure parameters.

1. Lessons from LSI: The Standard of Model Extraction

In LSI (Large Scale Integration) design, transistor developers do not hand over raw physical measurements or raw material specs to chip designers. Instead, device engineers perform systematic parameter extraction to represent LSI element behaviors (such as I-V and C-V curves) in standard models like BSIM (Berkeley Short-channel IGFET Model). These models are delivered directly to circuit designers as SPICE model cards.

This allows circuit engineers to simulate millions of transistors in complex configurations with complete trust that the electrical responses align with the physical limitations of the fabrication process. In the battery industry, however, this pipeline is virtually non-existent. BMS designers are usually forced to purchase cells, perform their own transient load tests, and fit mathematical curve equations (e.g., empirical RC parallel pairs) that completely ignore the physical structure—such as electrode thicknesses, active material volume fractions, and temperature-activated diffusivities.

2. The Unique Hardship of Battery Modeling

Admittedly, translating a battery cell to SPICE is considerably more difficult than characterizing a static silicon junction. Batteries exhibit dynamic, state-dependent behaviors that SPICE simulators were not originally designed to handle natively:

• Non-linear open-circuit potentials: The equilibrium voltage depends heavily on local stoichiometry ($x$, $y$) which varies as lithium ions diffuse in and out of the particles.
• Transient transport dynamics: Lithium-ion diffusion in the solid particles ($D_s$) and liquid phase ($D_e$) introduces long memory effects and delayed voltage drops that cannot be perfectly represented by a few discrete capacitors and resistors.
• Arrhenius temperature sensitivity: Kinetics (exchange currents $k$) and diffusion scale non-linearly with temperature, requiring dynamic activation energy calculations.

3. The Limit of Two-Terminal Measurements: Why 4-RC Cannot Be Easily Measured Directly

In standard battery testing, engineers connect a cell to a cycler or an EIS (Electrochemical Impedance Spectroscopy) analyzer using just two terminals (the positive and negative contacts). The resulting measurement is a lumped sum of all internal overpotentials combined:

• Anode kinetics + Cathode kinetics
• Anode solid-phase diffusion + Cathode solid-phase diffusion
• Electrolyte transport + contact resistances

This creates a mathematically ill-posed inverse problem. When fitting equivalent circuit models to terminal responses, the optimizer cannot differentiate whether a slow transient response comes from solid diffusion inside the anode particles or the cathode particles, or if a fast voltage drop is caused by charge-transfer kinetics at the positive or negative electrode interface. As a result, standard fits collapse these parameters into generic, mathematically-lumped RC blocks that lack physical meaning, limiting their predictive accuracy at different currents, states of charge, or temperatures.

To physically separate anode and cathode contributions, experimentalists must construct a complex three-electrode cell containing a reference electrode (e.g., lithium metal). This process is highly labor-intensive, unstable over long cycles, and practically impossible to perform on commercial production cells without destructive teardown.

This is where the power of physics-based models shines. Inside our SPMe simulation, the anode potential ($V_n(t)$) and cathode potential ($V_p(t)$) are calculated independently as separate field variables. By treating the simulation as a virtual three-electrode measurement, we can isolate and extract the individual parameters for four distinct, physically meaningful RC systems. Rather than lumped cell-level parameters, we build two separate 2-RC models (one for each electrode) that connect in series to form the complete 4-RC subcircuit (plus the ohmic resistance $R_0$):

1. Anode Charge Transfer ($R_{1,n}, C_{1,n}$): Fast kinetics at the negative electrode interface (part of anode 2-RC).
2. Anode Solid Diffusion ($R_{2,n}, C_{2,n}$): Slow particle-level diffusion inside the negative electrode (part of anode 2-RC).
3. Cathode Charge Transfer ($R_{1,p}, C_{1,p}$): Fast kinetics at the positive electrode interface (part of cathode 2-RC).
4. Cathode Solid Diffusion ($R_{2,p}, C_{2,p}$): Slow particle-level diffusion inside the positive electrode (part of cathode 2-RC).

4. The Extraction Logic: How Physical Parameters Translate to SPICE

The SPMeToSPICE Web Tool automates this mapping using a robust extraction algorithm. Rather than relying on simple mathematical approximations, the tool uses the following logic flow to compile the LTspice-ready subcircuit:

Step 1: Virtual HPPC Characterization

First, the tool runs a "Virtual HPPC (Hybrid Pulse Power Characterization)" protocol on the physics-based SPMe model. The simulation divides the SOC range (10% to 100%) into discrete steps. At each step, the model is subjected to a brief, highly sensitive 10-second discharge/charge pulse followed by a rest period. Crucially, the internal potentials of the anode and cathode are monitored independently at microsecond intervals.

Step 2: Dual-Electrode 2-RC Exponential Fitting

During the pulse and relaxation phases, the transient voltage curves for each electrode ($V_n(t)$ and $V_p(t)$) are isolated. The instantaneous step represents the ohmic contribution, while the transient curve for each electrode is fitted to a 2-RC (two-time-constant) exponential relaxation model using non-linear least squares:

$V_{trans}(t) = I \cdot R_1 \cdot (1 - e^{-t / \tau_1}) + I \cdot R_2 \cdot (1 - e^{-t / \tau_2})$

Here, the two time constants $\tau_1 = R_1 C_1$ (fast charge-transfer kinetics) and $\tau_2 = R_2 C_2$ (slow solid-phase diffusion) are extracted for the negative and positive electrodes individually. Resolving this separately for both electrodes yields the base resistance and capacitance tables as functions of SOC at the reference temperature (25°C). Connecting the anode 2-RC and cathode 2-RC in series forms the complete cell 4-RC model.

Step 3: Multi-Temperature Arrhenius Mapping

To capture thermal behavior, the tool repeats the virtual HPPC simulation at a lower temperature (typically 0°C). By comparing the extracted resistance tables at 25°C and 0°C, the algorithm extracts the exact Activation Energy ($E_a$) for each individual resistor using the Arrhenius equation:

$R(T) = R(T_{ref}) \cdot \exp\left( \frac{E_a}{R_g} \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{ref}} \right) \right)$

This step ensures that the SPICE model does not just use generic temperature coefficients, but inherits the precise thermodynamic sensitivities (e.g., diffusivity and kinetic activation energies) defined in the physical model.

Step 4: Compilation into LTspice Netlist

Finally, the extracted data tables (SOC vs. $R_0, R_1, C_1, R_2, C_2$ for both electrodes) and the calculated activation energies ($E_a$) are written into a standard LTspice subcircuit format (`.SUBCKT`). The temperature dependence is computed dynamically during circuit simulation using LTspice’s behavioral sources, scaling the resistances on the fly according to the voltage applied to the model's TEMP pin.

5. SPMe to SPICE: Creating the Bridge

The Single Particle Model with Electrolyte (SPMe) provides the perfect mathematical compromise. It simplifies the DFN (Doyle-Fuller-Newman) model by assuming uniform reaction distribution across the electrodes, yet it still captures key physical constraints—including liquid-phase diffusion and ohmic electrolyte resistance.

By discretizing the radial diffusion equation within the active material spheres and the concentration gradients in the liquid electrolyte, we can construct a set of equivalent network equations that SPICE can natively solve. The mapping converts physical phenomena into electrical equivalents:

6. Empowering Designers with SPMeToSPICE

To demonstrate this concept, we developed the SPMeToSPICE Web Tool. This application takes material specifications (like electrode thickness, active material fractions, and solid diffusivity) and generates a ready-to-run SPICE subcircuit netlist (`.sub` file).

By simply importing the netlist into standard simulators like LTspice, circuit designers can immediately analyze:

• Dynamic cell voltage variations during high-frequency pulse charging.
• BMS thermal management behavior, as internal heat generation calculations are linked directly to kinetic and electrolyte overpotentials.
• True physical limits of cells, protecting BMS hardware from over-discharge under transient loads.

We hope this simple bridging tool sparks interaction across disciplines. When materials, simulations, and circuit design speak the same language, battery development will move at a pace closer to the semiconductor revolution.

次世代電池の開発現場において、常に静かに立ちふさがるボトルネックがあります。それは、「材料開発者」、物理モデルを扱う「シミュレーションエンジニア」、そして「BMS（バッテリーマネジメントシステム）などの回路設計者」の間に存在する、極めて深い情報の壁です。材料設計者が活物質の拡散係数や電解質の導電率をいかにチューニングし、シミュレーションエンジニアが複雑な偏微分方程式（PDE）を解いていようとも、回路設計者が最終的に手にするのは、物理的裏付けの希薄な、極めて簡略化された等価回路モデル（ECM）であることがほとんどです。

リチウムイオン電池の研究を始める前に、半導体のプロセスデバイス技術者としてLSI開発に携わっていた私にとって、この現状には非常に強い違和感がありました。半導体業界では、物理的なデバイス挙動を回路シミュレーションへ橋渡しする仕組みは、標準的かつ高度に自動化された「当たり前のインフラ」だからです。本コラムでは、なぜ電池においてこのギャップを埋める必要があるのか、そしてSPMe（電解液を考慮した単一粒子モデル）を利用して、材料・構造パラメータからダイレクトにSPICEで動く回路モデルを作るアプローチについて解説します。

1. LSI開発に学ぶ「モデル抽出」という当たり前

半導体（LSI）開発において、トランジスタの材料や構造を開発するデバイス技術者は、自身がチューニングした素子の実測データや製造スペックをそのまま回路設計者に渡したりはしません。代わりに、実測データやデバイスシミュレーションから挙動を精密にフィッティングし、BSIMなどの業界標準モデルのパラメータセットを抽出して「SPICEモデルカード」の形で回路設計者に提供します。

回路設計者はこのモデルカードを信頼し、数千万〜数億個のトランジスタが載った巨大な回路シミュレーションを実行して、試作前に動作を完全に検証することができます。しかし、電池業界においてこの精緻なパイプラインはほぼ機能していません。BMS回路技術者は、電池メーカーから購入したセルを自社で測定し、過渡応答データからフィッティングした経験的なRC並列回路（物理的意味を持たない単なる数式のフィッティング）を独自に構築してシミュレーションを行うのが一般的です。これでは電極の厚み、空隙率、材料そのものの拡散係数の変更が、回路レベルのパフォーマンスにどう響くのかを予測できません。

2. 電池モデル化特有の難しさ

もちろん、電池セルの挙動をSPICE回路に翻訳することは、LSIのトランジスタ（シリコン接合）よりも遥かに困難です。電池は非常にダイナミックかつ状態依存性が高く、SPICEがネイティブで扱うには適さない以下の特徴を持っています。

• 非線形な開路電位（OCP）: 電位は活性物質内のリチウムの局所組成（ストイキオメトリ $x, y$）に依存し、これが充放電によるリチウムの移動によって非線形に変動します。
• 過渡的な物質移動特性: 粒子内部の固体内拡散（$D_s$）や電解液中の液相拡散（$D_e$）は、数秒から数十分にわたる「遅れ（メモリ効果）」を電圧応答にもたらします。これは少数のRC段数では完全な表現が難しく、電気的な伝送線路のような無限の分布定数系に近い性質を持っています。
• アレニウス温度依存性: 電荷移動反応（交換電流密度 $k$）や拡散係数は温度変化に対して指数関数的に変動するため、回路シミュレータ内で熱と電気挙動の非線形な連成が必要です。

3. 従来の電気化学測定の限界：2端子計測から物理的な4-RCを紐解く難しさ

通常の電池試験では、充放電テスターやEIS（電気化学インピーダンス分極）測定器を電池のプラス・マイナス極の「2つの端子」に接続して計測を行います。このとき、測定される全体の応答は、内部で発生しているすべての過電圧（分極抵抗）が複雑に重なり合った「合成値」となります。

• 負極の電荷移動反応抵抗 ＋ 正極の電荷移動反応抵抗
• 負極活物質内の拡散抵抗 ＋ 正極活物質内の拡散抵抗
• 電解液のイオン移動抵抗 ＋ 各部接触抵抗

これは数学的に「不良設定問題（逆問題）」であり、外部端子の電圧応答だけを見てカーブフィッティング（等価回路パラメータ同定）を行っても、「遅い電圧応答が、正極の固体内拡散に起因するものか、それとも負極の拡散に起因するものか」「速い電圧降下が、正極の反応速度限界か、それとも負極の反応速度限界か」を識別することはできません。そのため、従来のフィッティングでは、物理的な意味を持たない「数合わせのRCペア」として合成されてしまい、充放電レートや温度が少し変化しただけで全く予測が当たらなくなってしまいます。

これらを実験的に分離するには、参照極（リチウム金属箔など）を挿入した「3端子セル（参照極付きセル）」を組み立てる必要があります。しかし、これは作製コストや手間が非常に大きく、充放電を繰り返すことで参照極自体が劣化するため長期測定には適しません。ましてや、市販されている完成された製品セルを壊さずに3端子測定を行うことは不可能です。

ここに、物理モデルを用いる最大のメリットがあります。物理ベースシミュレータ（SPMe）の内部では、正極電位（$V_p(t)$）と負極電位（$V_n(t)$）が別々の独立した物理量として常時計算されています。すなわち、**「シミュレーション内で仮想的な3端子測定」**を行うことができるため、正負極それぞれにおいて以下の「物理的な意味を持つ4つのRC系統」を完全に分離して抽出することが可能になります。セル全体の4-RCは、無作為な4組のRCではなく、**正極・負極それぞれの「2-RCモデル（速い時定数＋遅い時定数）」**を直列に合流させることで構成されています。

1. 負極・電荷移動反応（$R_{1,n}, C_{1,n}$）: 反応キネティクスに対応する速い過渡応答（負極の2-RCの一部）
2. 負極・固体内リチウム拡散（$R_{2,n}, C_{2,n}$）: 粒子内拡散に対応する遅い過渡応答（負極の2-RCの一部）
3. 正極・電荷移動反応（$R_{1,p}, C_{1,p}$）: 反応キネティクスに対応する速い過渡応答（正極の2-RCの一部）
4. 正極・固体内リチウム拡散（$R_{2,p}, C_{2,p}$）: 粒子内拡散に対応する遅い過渡応答（正極の2-RCの一部）

4. SPMeToSPICEにおけるサブサーキット抽出ロジックの全貌

私たちが開発した **SPMeToSPICE Web Tool** は、この物理から等価回路への変換（マッピング）を自動化する独自のアルゴリズムを内蔵しています。単なる数学的近似ではなく、モデル内の物理制約を正確に保存するために、ツールは以下のステップに沿ってLTspice用のサブサーキットファイルを抽出します。

ステップ1: 仮想HPPCシミュレーションの実行

まず、フィッティング済みの物理SPMeモデル上で「仮想的なHPPC（Hybrid Pulse Power Characterization）」プログラムを走らせます。SOC（充電状態）を10%から100%まで10%刻みで調整し、各SOC点で短い10秒間のパルス放電/充電と、その後の十分な休止期間をシミュレーションします。この過渡応答の際、正極および負極の単独の電位変化をマイクロ秒単位で追跡・サンプリングします。

ステップ2: 電極ごとの2-RC（2時定数）指数フィッティング

パルス印加および無通電緩和（レスト）期間の各電極電位（$V_p(t)$ および $V_n(t)$）の過渡データに対し、瞬時の電圧降下からオーム抵抗（$R_0$ への寄与）を差し引いた上で、非線形最小二乗法を用いて電極ごとに独立した2-RC（2つの時定数 $\tau_1, \tau_2$ を持つ）指数関数緩和モデルにフィッティングします。

$V_{trans}(t) = I \cdot R_1 \cdot (1 - e^{-t / \tau_1}) + I \cdot R_2 \cdot (1 - e^{-t / \tau_2})$

ここで得られる $\tau_1 = R_1 C_1$（電荷移動反応を表す速い時定数）と $\tau_2 = R_2 C_2$（固体内拡散を表す遅い時定数）を正負極で独立して算出します。これにより、25℃（基準温度）における各電極のSOC依存の抵抗・容量テーブル（アノード2-RC ＋ カソード2-RC）が完成します。

ステップ3: 複数温度シミュレーションによるアレニウス活性化エネルギーの抽出

さらに、シミュレータは低温環境（0℃など）においても全く同じ仮想HPPCテストを自動で実行します。そして、25℃と0℃で抽出された各抵抗値を比較し、アレニウスの関係式に基づいて、各抵抗成分個別の活性化エネルギー（$E_a$）を算出します。

$R(T) = R(T_{ref}) \cdot \exp\left( \frac{E_a}{R_g} \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{ref}} \right) \right)$

これにより、物理モデル内で設定した材料固有の熱特性（拡散活性化エネルギーや反応活性化エネルギー）が、等価回路モデル側の抵抗成分それぞれへと数学的に正しく受け継がれます。

ステップ4: LTspiceサブサーキット（.sub）の自動ビルド

抽出されたテーブルと活性化エネルギーは、最終的にLTspiceのサブサーキットフォーマット（`.SUBCKT`）として自動構築されます。温度依存性は、LTspiceの任意行動電源（B-source）と `table()` / `exp()` 関数を使用し、サブサーキットの TEMP ピンへ入力された電圧（温度入力）に基づいて回路計算時に動的かつ非線形にスケーリングされる構造になっています。

5. SPMe to SPICE: 物理を回路へマッピングする

ここで実用的な妥協点となるのが、SPMe（Single Particle Model with Electrolyte）です。SPMeは、反応分布が電極内で均一であると仮定することで複雑なDFN（Doyle-Fuller-Newman）モデルを簡略化しつつ、液相（電解液）のイオン拡散や液相オーム抵抗といった重要物理制約を保持します。

活性物質粒子内の拡散方程式や電解液内の濃度勾配を空間的に差分化（離散化）することで、SPICEがネイティブで解くことのできる回路の節点方程式へと変換します。マッピングは以下のように対応します。

6. SPMeToSPICEツールでギャップを埋める

このアプローチを誰もが簡単に体験できるよう、私たちは**「SPMeToSPICE Web Tool」**を開発しました。本ツールは、電極厚みや空隙率、拡散係数といった物理ベースのパラメータを入力するだけで、LTspice等の汎用回路シミュレータで即座に実行可能なサブサーキットネットリスト（`.sub` ファイル）を自動生成します。

生成されたモデルをLTspice等にインポートすることで、回路エンジニアは以下のような高度な検証を即座に行えます。

• 高頻度なパルス充放電におけるダイナミックな電圧変動の追従。
• 反応過電圧や液相抵抗によるセル発熱を回路シミュレータ上で計算する、BMSの熱連成解析。
• 過渡的な過負荷がかかった際の実際のカットオフ限界など、物理ベースのセル破壊防止ロジックの事前検証。

本ツールのような「橋渡し」を通じて、異なる分野のエンジニアたちが共通の言葉で議論できるようになれば、電池開発のサイクルはより一層加速するはずです。回路設計に慣れ親しんだエンジニアの皆様に、物理ベース電池モデルの面白さと実用性をぜひ楽しんでいただければ幸いです。